题目内容
已知A、D分别为椭圆E：
=1（a＞b＞0）的左顶点与上顶点，椭圆的离心率e=
，F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且
的最大值为1．（1）求椭圆E的方程．
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
（3）设直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B1，当R为何值时，|A1B1|取最大值？并求最大值．
【答案】分析：（1）设P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），则
•
=x2+y2-c2，P在AD上，x2+y2看作线段AD上的点P（x，y）到原点距离的平方，所以P在A点，x2+y2最大，a2-c2=1，由此能求出椭圆方程1．
（2）由椭圆方程为
+y2=1，设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．解方程组
得（1+4k）2x2+8ktx+4t2-4=0，要使切线与椭圆恒有两个交点A，B，则使△=64k2t2-16（1+4k2）（t2-1）=16（4k2-t2+1）＞0．由此能求出存在圆心在原点的圆x2+y2=
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．
（3）设直线l的方程为y=mx+n，因为直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，由R=
，知n2=R2（1+m2），因为l与椭圆只有一个公共点B1，所以
，即（1+4m2）x2+8mx+4n2-4=0有唯一解．由此入手能够导出当R=
∈（1，2）时|A1B1|取得最大值，最大值为1．
解答：解：（1）设P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），其中c2=a2-b2，c＞0
则
=（-c-x，-y），
=（c-x，-y）∴
•
=x2+y2-c2
∵P在AD上，x2+y2看作线段AD上的点P（x，y）到原点距离的平方，
∴P在A点，x2+y2最大，∴a2-c2=1，
又e=
=
，∴a2=4，b2=1，c2=3，椭圆方程
+y2=1．
（2）由（1）知椭圆方程为
+y2=1，
①设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．
解方程组
得x2+4（kx+t）2=4，即（1+4k）2x2+8ktx+4t2-4=0，
要使切线与椭圆恒有两个交点A，B，则使△=64k2t2-16（1+4k2）（t2-1）=16（4k2-t2+1）＞0
即4k2-t2+1＞0，即t2＜4k2+1，且
，
y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2=
-
+t2=
，
要使
⊥
，需使x1x2+y1y2=0，即
+
=
=0，
所以5t2-4k2-4=0，即5t2=4k2+4且t2＜4k2+1，即4k2+4＜20k2+5恒成立．
又因为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r=
，r2=
=
=
，所求的圆为x2+y2=
．
②当切线的斜率不存在时，切线为x=±
，与
+y2=1交于点（
，±
）或（-
，±
）满足．
综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=
．，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．
（3）设直线l的方程为y=mx+n，因为直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，
由（2）知R=
，即n2=R2（1+m2）①，因为l与椭圆只有一个公共点B1，
由（2）知
得x2+4（mx+n）2=4，即（1+4m2）x2+8mx+4n2-4=0有唯一解，
则△=64m2n2-16（1+4m2）（n2-1）=16（4m2-n2+1）=0，即4m2-n2+1=0，②
由①②得
此时A，B重合为B1（x1，y1）点，由
中x1=x2，所以x12=
=
，B1（x1，y1）点在椭圆上，所以y12=1-
x12=
|OB1|2=x12+y12=5-
，在直角三角形OA1B1中，|A1B1|2=|OB1|2-|OA1|2=5-
-R2=5-（
+R2）
因为（
+R2）≥4当且仅当R=
∈（1，2）时取等号，所以|A1B1|2≤5-4=1
即当R=
∈（1，2）时|A1B1|取得最大值，最大值为1．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．
•
=x2+y2-c2，P在AD上，x2+y2看作线段AD上的点P（x，y）到原点距离的平方，所以P在A点，x2+y2最大，a2-c2=1，由此能求出椭圆方程1．（2）由椭圆方程为
+y2=1，设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．解方程组
得（1+4k）2x2+8ktx+4t2-4=0，要使切线与椭圆恒有两个交点A，B，则使△=64k2t2-16（1+4k2）（t2-1）=16（4k2-t2+1）＞0．由此能求出存在圆心在原点的圆x2+y2=
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．（3）设直线l的方程为y=mx+n，因为直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，由R=
，知n2=R2（1+m2），因为l与椭圆只有一个公共点B1，所以
，即（1+4m2）x2+8mx+4n2-4=0有唯一解．由此入手能够导出当R=
∈（1，2）时|A1B1|取得最大值，最大值为1．解答：解：（1）设P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），其中c2=a2-b2，c＞0
则
=（-c-x，-y），
=（c-x，-y）∴
•
=x2+y2-c2∵P在AD上，x2+y2看作线段AD上的点P（x，y）到原点距离的平方，
∴P在A点，x2+y2最大，∴a2-c2=1，
又e=
=
，∴a2=4，b2=1，c2=3，椭圆方程
+y2=1．（2）由（1）知椭圆方程为
+y2=1，①设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．
解方程组
得x2+4（kx+t）2=4，即（1+4k）2x2+8ktx+4t2-4=0，要使切线与椭圆恒有两个交点A，B，则使△=64k2t2-16（1+4k2）（t2-1）=16（4k2-t2+1）＞0
即4k2-t2+1＞0，即t2＜4k2+1，且
，y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2=
-
+t2=
，要使
⊥
，需使x1x2+y1y2=0，即
+
=
=0，所以5t2-4k2-4=0，即5t2=4k2+4且t2＜4k2+1，即4k2+4＜20k2+5恒成立．
又因为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r=
，r2=
=
=
，所求的圆为x2+y2=
．②当切线的斜率不存在时，切线为x=±
，与
+y2=1交于点（
，±
）或（-
，±
）满足．综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=
．，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．（3）设直线l的方程为y=mx+n，因为直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，
由（2）知R=
，即n2=R2（1+m2）①，因为l与椭圆只有一个公共点B1，由（2）知
得x2+4（mx+n）2=4，即（1+4m2）x2+8mx+4n2-4=0有唯一解，则△=64m2n2-16（1+4m2）（n2-1）=16（4m2-n2+1）=0，即4m2-n2+1=0，②
由①②得
此时A，B重合为B1（x1，y1）点，由
中x1=x2，所以x12=
=
，B1（x1，y1）点在椭圆上，所以y12=1-
x12=
|OB1|2=x12+y12=5-
，在直角三角形OA1B1中，|A1B1|2=|OB1|2-|OA1|2=5-
-R2=5-（
+R2）因为（
+R2）≥4当且仅当R=
∈（1，2）时取等号，所以|A1B1|2≤5-4=1即当R=
∈（1，2）时|A1B1|取得最大值，最大值为1．点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．
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如图，已知A，B分别为椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
A、±
| ||
B、±
| ||
C、±
| ||
D、±
|
的左顶点与上顶点，椭圆的离心率
，F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且
的最大值为1 ．
OB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
相切于A1，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B1，当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．