Question

16．某商场欲研究每天平均气温与商场空调日销量的关系，抽取了去年10月1日至5日每日平均气温与空调销量的数据，得到如下资料：

日期	1日	2日	3日	4日	5日
平均气温x（°C）	29	26	24	22	20
销量y（件）	11	8	7	5	3

该商场确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是10月1日至2日的两组数据，请根据10月3日至10月5日的数据，求出y关于x的线性回归方程$\hat y=bx+a$；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2件，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？

Answer 1

分析 （1）利用列举法求出对应的基本事件数，计算对应的概率即可；
（2）利用公式计算$\overline{x}$与$\overline{y}$，求出回归直线方程的系数，即得所求线性回归方程；
（3）验证x=29与x=26时，观测值与估计值，是否满足条件即可．

解答 解：（1）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A，
∵所有基本事件（m，n）（其中m，n为1月份的日期数）有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），
（3，4），（3，5），（4，5）共有10种；
事件A包括的基本事件有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）共4种；
∴抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率为
P（A）=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$；
（2）∵$\overline{x}$=$\frac{24+22+20}{3}$=22，$\overline{y}$=$\frac{7+5+3}{3}$=5，
∴由公式，得b=$\frac{（24-22）（7-5）+（22-22）（5-5）+（20-22）（3-5）}{{（24-22）}^{2}{+（22-22）}^{2}{+（20-22）}^{2}}$=1，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=5-22=-17，
∴所求的线性回归方程为：$\stackrel{∧}{y}$=x-17；
（3）∵当x=29时，$\stackrel{∧}{y}$=29-17=12，满足|12-11|＜2，
当x=26时，$\stackrel{∧}{y}$=26-17=9，也满足|9-8|＜2，
∴认为得到的线性回归方程是可靠的．

点评 本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，也考查了求线性回归方程的应用问题，是中档题目．