Question

1．已知函数y=x+$\frac{a}{x}$有如下性质：如果a＞0，那么该函数在（0，$\sqrt{a}$]上是减函数，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数．
（1）若函数y=x+$\frac{{3}^{m}}{x}$（x＞0）的值域是[6，+∞），求实数m的值；
（2）若把函数f（x）=x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$（a＞0）在[1，2]上的最小值记为g（a）．
（ⅰ）求g（a）的表达式；
（ⅱ）若g（a）≥t²-mt-1对所有的a＞0，m∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由给出的性质可得x=$\sqrt{{3}^{m}}$，取得最小值6，解方程可得m=2；
（2）（ⅰ）令x²=t，则$f（t）=t+\frac{a}{t}$．于是原题即求f（t）在[1，4]上的最小值．对a讨论，①当$\sqrt{a}＞4$，②当$1≤\sqrt{a}≤4$，③当$\sqrt{a}＜1$，运用单调性，可得最小值；
（ⅱ）由①得当a＞0时，g（a）＞1，要使g（a）≥t²-mt-1对所有的a＞0，m∈[-1，1]恒成立，只要t²-mt-1≤1，由一次函数的单调性，可得不等式，即可解得t的范围．

解答 解：（1）由已知，函数$y=x+\frac{3^m}{x}（{x＞0}）$在$（{0，\sqrt{3^m}}]$上是减函数，
在$[{\sqrt{3^m}，+∞}）$上是增函数，
∴${y_{min}}=\sqrt{3^m}+\frac{3^m}{{\sqrt{3^m}}}=2\sqrt{3^m}$，
∴$2\sqrt{3^m}=6$，3^m=9，∴m=2．
（2）（ⅰ）令x²=t，∵x∈[1，2]，∴t∈[1，4]．
则$f（t）=t+\frac{a}{t}$．
于是原题即求f（t）在[1，4]上的最小值．
①当$\sqrt{a}＞4$，即a＞16时，f（t）在[1，4]上是减函数，此时$g（a）=f（4）=4+\frac{a}{4}$；
②当$1≤\sqrt{a}≤4$，即1≤a≤16时，$g（a）=f（{\sqrt{a}}）=2\sqrt{a}$；
③当$\sqrt{a}＜1$，即0＜a＜1时，f（t）在[1，4]上是增函数，此时g（a）=f（1）=1+a．
综上，$g（a）=\left\{\begin{array}{l}1+a，0＜a＜1\\ 2\sqrt{a}，1≤a≤16\\ 4+\frac{a}{4}，a＞16.\end{array}\right.$；
（ⅱ）由①得当a＞0时，g（a）＞1，
∴要使g（a）≥t²-mt-1对所有的a＞0，m∈[-1，1]恒成立，只要t²-mt-1≤1，
即t²-mt-2≤0对所有的m∈[-1，1]恒成立．
令h（m）=t²-mt-2，则$\left\{\begin{array}{l}h（{-1}）≤0\\ h（1）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{t^2}+t-2≤0\\{t^2}-t-2≤0\end{array}\right.$，解得-1≤t≤1．
∴实数t的取值范围是[-1，1]．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查不等式恒成立问题的解法，考查分类讨论和运算求解能力，属于中档题．