题目内容
如图，现要在边长为
的正方形
内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为
（
不小于
）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为
的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于
，绕岛行驶的路宽均不小于
.
（1）求
的取值范围；（运算中
取
）
（2）若中间草地的造价为
元
，四个花坛的造价为
元
，其余区域的造价为
元
，当
取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
【答案】
(1) 
,(2) 
.
【解析】
试题分析：（1）解决应用题问题首先要解决阅读问题，具体说就是要会用数学式子正确表示数量关系，本题根据半径、岛口宽、路宽限制条件列方程组，即可得
的取值范围；其难点在路宽最小值的确定，观察图形易知路宽最小值应在正方形对角线连线上取得，（2）本题解题思路清晰，就是根据草地、花坛、其余区域的造价列函数关系式，再由导数求最值.难点在所列函数解析式是四次，其导数为三次，在判定区间导数符号时需细心确定，要解决这一难点，需充分利用因式分解简化式子结构.
试题解析：（1）由题意得，
4分
解得
即. 7分
（2）记“环岛”的整体造价为
元，则由题意得
， 10分
令
，则
，
由
，解得
或
， 12分
列表如下：
| 9 | (9,10) | 10 | (10,15) | 15 |
|
| － | 0 | ＋ | 0 |
|
| ↘ | 极小值 | ↗ |
|
所以当，
取最小值.
答：当时，可使“环岛”的整体造价最低. 14分
考点：利用导数求最值，解不等式.
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的等边三角形
的顶点
处（如图），现要在边
上的
点建一仓库，某工人每天用叉车将生产原料从仓库运往车间，同时将成品运回仓库．已知叉车每天要往返
车间5次，往返
车间20次，设叉车每天往返的总路程为
.（注：往返一次即先从仓库到车间再由车间返回仓库）
长为
，将
表示成
，将
的函数关系式.
的最小值，并指出点