Question

某观测站C在城A的南偏西20°方向上，从城A出发有一条公路，走向是南偏东40°，在距C处31公里的公路上的B处有一个人正沿着公路向城A走去，走20公里后到达D处，测得CD=21公里，求这时此人距城A多少公里？某同学甲已经由余弦定理求得cos∠CDB=-

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请你帮助他继续完成此题！

Answer 1

分析：依题意，可求得∠A=60°，由cos∠CDB=-

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可求得cos∠CDA与sin∠CDA，利用两角差的正弦可求得sin∠ACD，再利用正弦定理即可求得AD．

解答：解：依题意，∠CAD=40°+20°=60°，
∵cos∠CDB=-

1

7

，
∴sin∠CDB=sin∠CDA=

4 3

7

，
在△ACD中，∠ACD=180°-∠A-∠CDA=180°-60°-∠CDA=120°-∠CDA，
∴sin∠ACD=sin（120°-∠CDA）
=sin120°cos∠CDA-cos120°sin∠CDA
=

3

2

×

1

7

-（-

1

2

）×

4 3

7

=

5 3

14

．
由正弦定理得：

AD

sin∠ACD

=

21

sin∠A

，
∴AD=

21

3 2

×

5 3

14

=15（km）．
答：这时此人距城A15公里．

点评：本题考查解三角形，着重考查正弦定理与三角函数间的关系，考查两角差的正弦，求得sin∠ACD是关键，也是难点，属于中档题．