Question

如图，某观测站C在城A的南偏西20°方向上，从城A出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得距离C处31千米的公路上的B处有一辆正沿着公路向城A驶去，行驶了20千米后到达D处，测得C、D二处间距离为21千米，这时此车距城A多少千米？

Answer 1

分析：根据题意可知CD，BC，BD在△BCD中，由余弦定理求得cos∠BDC，进而设∠ADC=α，则sinα，cosα可求，在△ACD中，由正弦定理求得得AD，答案可得．

解答：解：在△BCD中，CD=21，BD=20，BC=31，由余弦定理得cos∠BDC=

212+202-312

2×21×20

=-

1

7

，
所以sin∠BDC=

1-cos2∠BDC

=

4 3

7

．
在△ACD中，CD=21，∠CAD=20°+40°=60°，sin∠ACD=sin（∠BDC-60°）=sin∠BDC•cos60°-cos∠BDC•sin60°=

5 3

14

．
由正弦定理得AD=

CD•sin∠ACD

sin∠CAD

=

21• 5 3 14

3 2

=15（千米）．
所以此车距城A有15千米．

点评：本题主要考查了解三角新的实际应用．解题的关键是利用正弦定理，利用边和角的关系求得答案．