Question

16．已知函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在区间[-2，4上的最大值是16；
（1）求实数a的值；
（2）若函数f（x）=log₂（x²-3x+2a）的定义域是R，求满足不等式log_a（1-2t）x≤1的实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论a的取值，结合指数函数的单调性即可求实数a的值；
（2）根据函数的定义域为R，求出a的值，结合对数不等式的解法进行求解即可．

解答 解：（1）若a＞1，则函数在区间[-2，4上的最大值为f（4）=a⁴=16，解得a=2．
若0＜a＜1，则函数在区间[-2，4上的最大值为f（-2）=a^-2=16，解得a=$\frac{1}{4}$．
综上实数a=2或$\frac{1}{4}$；
（2）若f（x）=log₂（x²-3x+2a）的定义域是R，
则x²-3x+2a＞0恒成立，
即判别式△=9-8a＜0，即a＞$\frac{9}{8}$，
∵a=2或$\frac{1}{4}$；
∴a=2．
则不等式log_a（1-2t）x≤1等价为log₂（1-2t）x≤1，
即0＜（1-2t）x≤2，
∵x∈[-2，4]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜-2（1-2t）}\\{4（1-2t）≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜4（1-2t）}\\{-2（1-2t）≤2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1-2t＜0}\\{1-2t≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-2t＞0}\\{1-2t≥-1}\end{array}\right.$，
即1-2t＜0或1-2t＞0，
解得t$＞\frac{1}{2}$或t$＜\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查指数函数单调性和对数函数单调性的应用，考查学生的运算能力．