题目内容
已知正数x，y，z满足5x+4y+3z=10．
（1）求证：
+
+
≥5；
（2）求9x2+9y2+z2的最小值．
（1）求证：
| 25x 2 |
| 4y+3z |
| 16y2 |
| 3z+5x |
| 9z2 |
| 5x+4y |
（2）求9x2+9y2+z2的最小值．
分析：（1）根据柯西不等式，得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)][
+
+
]≥（5x+4y+3z）2
因为5x+4y+3z=10，从而得出结论．
（2）先根据均值不等式，得9x2+9y2+z2≥2
=2•3x2+y2+z2，再根据柯西不等式，得（x2+y2+z2）（52+42+32）≥（5x+4y+3z）2即可求出最小值．
| 25x2 |
| 4y+3z |
| 16y2 |
| 3z+5x |
| 9z2 |
| 5x+4y |
因为5x+4y+3z=10，从而得出结论．
（2）先根据均值不等式，得9x2+9y2+z2≥2
| 9x2•9y2+z2 |
解答：解：（1）根据柯西不等式，得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)][
+
+
]≥（5x+4y+3z）2
因为5x+4y+3z=10，所以
+
+
≥
=5．
（2）根据均值不等式，得9x2+9y2+z2≥2
=2•3x2+y2+z2，
当且仅当x2=y2+z2时，等号成立．
根据柯西不等式，得（x2+y2+z2）（52+42+32）≥（5x+4y+3z）2=100，
即 （x2+y2+z2）≥2，当且仅当
=
=
时，等号成立．
综上，9x2+9y2+z2≥2•32=18．
| 25x2 |
| 4y+3z |
| 16y2 |
| 3z+5x |
| 9z2 |
| 5x+4y |
因为5x+4y+3z=10，所以
| 25x2 |
| 4y+3z |
| 16y2 |
| 3z+5x |
| 9z2 |
| 5x+4y |
| 102 |
| 20 |
（2）根据均值不等式，得9x2+9y2+z2≥2
| 9x2•9y2+z2 |
当且仅当x2=y2+z2时，等号成立．
根据柯西不等式，得（x2+y2+z2）（52+42+32）≥（5x+4y+3z）2=100，
即 （x2+y2+z2）≥2，当且仅当
| x |
| 5 |
| y |
| 4 |
| z |
| 3 |
综上，9x2+9y2+z2≥2•32=18．
点评：本小题主要考查一般形式的柯西不等式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
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