Question

（选修4-5：不等式选讲）
已知正数x，y，z满足x²+y²+z²=1．
（Ⅰ）求x+2y+2z的最大值；
（Ⅱ）若不等式|a-3|≥x+2y+2z对一切正数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分析题目已知x²+y²+z²=1，求x+2y+3z的最大值．考虑到应用柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²），首先构造出柯西不等式求出（x+2y+2z）²的最大值，开平方根即可得到答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，不等式|a-3|≥x+2y+2z对一切正数x，y，z恒成立，当且仅当|a-3|≥3成立，

解答：解：（Ⅰ）因为已知x²+y²+z²=1根据柯西不等式：
（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）构造得：
（x+2y+2z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+2²）≤1×9=9
故x+2y+2z≤

9

=3．当且仅当x=

y

2

=

z

2

时取等号．
则当x=

1

3

，y=z=

2

3

时x+2y+2z的最大值是3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，不等式|a-3|≥x+2y+2z对一切正数x，y，z恒成立，
当且仅当|a-3|≥3成立，
即

a＜3 3-a≥3

或

a≥3 a-3≥3

，解得a≤0，或a≥6，
所以实数a的取值范围是（-∞，0]∪[6，+∞）．

点评：本小题主要考查基本不等式的应用、配凑法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．