题目内容
已知函数φ(x)=log
x与函数g（x）的图象关于y=x对称，若g（a）g（b）=2，且a＜0，b＜0，则
+
的最大值为
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| a |
| 1 |
| b |
-9
-9
．分析：依题意可求得g（x）=(
)x，于是有a+b=-1，利用基本不等式即可求得答案．
| 1 |
| 2 |
解答：解：∵φ（x）=log
x与函数g（x）的图象关于y=x对称，
∴φ（x）=log
x与函数g（x）互为反函数，
∴g（x）=(
)x，
∵g（a）g（b）=2，
∴(
)a•(
)b=(
)a+b=2，
∴a+b=-1，又a＜0，b＜0，
∴
+
=-（
+
）（a+b）=-（4+
+
+1）
依题意，
+
≥2
=4，
∴-（
+
）≤-4，
∴-（4+
+
+1）≤-9．
故答案为：-9．
| 1 |
| 2 |
∴φ（x）=log
| 1 |
| 2 |
∴g（x）=(
| 1 |
| 2 |
∵g（a）g（b）=2，
∴(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴a+b=-1，又a＜0，b＜0，
∴
| 4 |
| a |
| 1 |
| b |
| 4 |
| a |
| 1 |
| b |
| 4b |
| a |
| a |
| b |
依题意，
| 4b |
| a |
| a |
| b |
|
∴-（
| 4b |
| a |
| a |
| b |
∴-（4+
| 4b |
| a |
| a |
| b |
故答案为：-9．
点评：本题考查反函数与基本不等式的应用，求得a+b=-1是关键，属于中档题．
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