Question

已知函数f（x）=

5+2x

16-8x

，设正项数列{a_n}满足a₁=l，a_n+1=f（a_n）．
（I）写出a₂，a₃的值；
（Ⅱ）试比较a_n与

5

4

的大小，并说明理由；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足b_n=

5

4

-a_n，记S_n=

n

i=1

bi．证明：当n≥2时，S_n＜

1

4

（2ⁿ-1）．

Answer 1

分析：（I）把a_n代入函数解析式得到数列的递推式，根据数列的递推式和a₁的值求得a₂，a₃的值．
（Ⅱ）根据a_n＞0，a_n+1＞0，推断出16-8a_n＞0，0＜a_n＜2．进而求得an+1-

5

4

=

3

2

•

an- 5 4

2-an

根据2-a_n＞0，判断出an+1-

5

4

与an-

5

4

同号，进而根据a1-

5

4

=-

1

4

＜0，a2-

5

4

＜0，a3-

5

4

＜0，，an-

5

4

＜0，推断出an＜

5

4

.
（Ⅲ）根据（2）中的结论以及数列的递推式求得b_n=

5

4

-a_n＜2b_n-1，进而可递推出b_n＜2•b_n-1＜2²•b_n-2＜…＜2^n-1b₁=2^n-3，进而利用等比数列的求和公式求得Sn=b1+b2++bn＜

1

4

+

1

2

++(

1

2

)3-n，证明原式．

解答：解：（I）an+1=

5+2an

16-8an

，因为a₁=1，
所以a2=

7

8

，a3=

3

4

.
（Ⅱ）因为a_n＞0，a_n+1＞0，
所以16-8a_n＞0，0＜a_n＜2．
an+1-

5

4

=

5+2an

16-8an

-

5

4

=

48(an- 5 4 )

32(2-an)

=

3

2

•

an- 5 4

2-an

，
因为2-a_n＞0，
所以an+1-

5

4

与an-

5

4

同号，
因为a1-

5

4

=-

1

4

＜0，a2-

5

4

＜0，a3-

5

4

＜0，，an-

5

4

＜0，即an＜

5

4

.
（Ⅲ）当n≥2时，bn=

5

4

-an=

3

2

•

1

2-an-1

•(

5

4

-an-1)=

3

2

•

1

2-an-1

•bn-1＜

3

2

•

1

2- 5 4

•bn-1=2bn-1，
所以b_n＜2•b_n-1＜2²•b_n-2＜…＜2^n-1b₁=2^n-3，
所以Sn=b1+b2++bn＜

1

4

+

1

2

++(

1

2

)3-n=

1 4 (1-2n)

1-2

=

1

4

(2n-1)

点评：本题主要考查了数列与函数的综合，考查了数列的递推式的应用．数列的递推式是高考中常考的题型，平时应注意多训练．