Question

已知函数f(x)=

1

3

ax3+x2-x，a∈R
（1）若函数 在x=1处的切线l与直线y=4x+3平行，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设函数g(x)=|f(x)-x2+x-1|+

1

3

x，若方程g（x）-m=0在区间[-2，2]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义，结合函数在x=1处的切线l与直线y=4x+3平行，可实数a的值；
（2）求导函数f′（x）=ax²+2x-1，函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，只需f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解即可；
（3）函数g(x)=|f(x)-x2+x-1|+

1

3

x，若方程g（x）-m=0在区间[-2，2]上有两个不相等的实数根，只需要g（x）的图象y=m有两个不同的交点．

解答：解：（1）求导函数f′（x）=ax²+2x-1
∵函数在x=1处的切线l与直线y=4x+3平行，
∴f′（1）=a+1=4
∴a=3
（2）求导函数f′（x）=ax²+2x-1，函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，只需f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解即可
f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解，即a＞

1

x2

-

2

x

在（2，+∞）上有解
∵

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1，

1

x

∈(0，

1

2

)
∴

1

x2

-

2

x

＞-

3

4

∴a＞-

3

4

∴实数a的取值范围是(-

3

4

，+∞)
（3）函数g(x)=|f(x)-x2+x-1|+

1

3

x，若方程g（x）-m=0在区间[-2，2]上有两个不相等的实数根，只需要g（x）的图象y=m有两个不同的交点
当x≥1时，g（x）=x3-1+

1

3

x，g′（x）=3x2+

1

3

＞0，函数g（x）单调递增
当x＜1时，g（x）=-x3+1+

1

3

x，g′（x）=-3x2+

1

3

=-3(x+

1

3

)(x-

1

3

)
令g′（x）＞0，可得-

1

3

＜x＜

1

3

，令g′（x）＜0，可得x＜-

1

3

，或x＞

1

3

，
∴函数在(-2，-

1

3

)上单调减，（-

1

3

，

1

3

）上单调增，(

1

3

，1)上单调减，（1，2）上单调增
∴当x=-

1

3

时，g（x）取得极小值

25

27

．当x=

1

3

时，g（x）取得极大值

29

27

．g（-2）=

25

3

，g(2)=

23

3

∴

1

3

＜m＜

25

27

或

29

27

＜m＜

23

3

时，g（x）的图象y=m有两个不同的交点，方程g（x）-m=0在区间[-2，2]上有两个不相等的实数根
∴实数m的取值范围为(

1

3

，

25

27

)∪ (

29

27

，

23

3

)．

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查利用导数研究函数的图象，综合性强．