Question

【题目】已知抛物线，过点的直线与抛物线相切，设第一象限的切点为.

（Ⅰ）证明：点在轴上的射影为焦点；

（Ⅱ）若过点的直线与抛物线相交于两点，圆是以线段为直径的圆且过点，求直线与圆的方程.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）设过点的直线方程为，与抛物线方程联立消元后得到二次方程，根据判别式为零得到，当时可求得点坐标为，而焦点为，故结论成立．（Ⅱ）设直线的方程为，与抛物线方程联立消元后得到二次方程．由圆是以线段为直径的圆且过点可得，然后结合根与系数的关系求出或，进而可得所求方程．

（Ⅰ）由题意知可设过点的直线方程为，

由消去整理得，

又因为直线与抛物线相切，

所以，解得．

当时，直线方程为，可得点坐标为，

又因为焦点，

所以点在轴上的射影为焦点．

（Ⅱ）设直线的方程为，

由，

其中恒成立.

设，，

则，

所以，．

由于圆是以线段为直径的圆过点，则，

所以

所以，

解得或．

当时，直线的方程为，圆的方程为；

当时，直线的方程为，圆的方程为．