Question

17．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足${\overrightarrow a^2}=4$，$|\overrightarrow b|=2$，$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a-\overrightarrow b）=4$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 将式子$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a-\overrightarrow b）=4$展开计算$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，代入向量的夹角公式计算即可．

解答 解：∵$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a-\overrightarrow b）=4$，
∴3${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4，
即12-4+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-2．
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-2}{2×2}=-\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，夹角公式，属于基础题．