Question

设函数f（x）=

1

xlnx

（x＞0且x≠1）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）已知

1

x

ln2＞alnx对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导数，利用导数不等式确定函数的单调区间．
（2）将不等式进行等价转化为含参不等式，然后构造函数求函数在（0，1）上的最值即可．

解答：解：（1）函数的导数为f′(x)=-

1+ln?x

(xln?x)2

，由f′(x)＞0，得0＜x＜

1

e

，由f′(x)＜0，得x＞

1

e

且x≠1，
即函数在（0，

1

e

）上单调递增，在（

1

e

，1）及（1，+∞）上单调递减．
（2）因为x∈（0，1）时，lnx＜0，由

1

x

ln2＞alnx得a＞

ln?2

xln?x

，即求函数y=

ln?2

xln?x

的最大值即可．
由（1）知，函数y=

ln?2

xln?x

在（0，

1

e

）上单调递增，在（

1

e

，1）上单调递减，
所以函数y=

ln?2

xln?x

在（0，1）上，当x=

1

e

时取得最大值为-eln2，所以a＞-eln2，
即实数a的取值范围（-eln2，+∞）．

点评：本题的考点是利用导数研究函数的单调性，以及利用导数解决不等式恒成立问题．含有参数的不等式恒成立，往往要通过分类参数，将参数转化为最值恒成立问题．