Question

设函数f（x）=

1

x

，g（x）=ax²+bx，若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点，则当b∈（0，1）时，实数a的取值范围为

(-

2 3

9

，

2 3

9

)

．

Answer 1

分析：画出函数的图象，利用函数的图象的对称性，结合对字母a进行分类讨论，不难推出结论．

解答：解：当a＞0时，作出两个函数的图象，如图，
则当b∈（0，1）时，函数f（x）=

1

x

，g（x）=ax²+bx，若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点，故考虑当b=1时，两个函数图象有且仅有两个不同的公共点，如图．
由方程

1

x

=ax²+x，得ax³=1-x²，两边求导，得3ax²=-2x，∴a=-

2

3x

，
∴-

2

3x

×x³=1-x²，解得x=

3

，
∴a=-

2

3 3

=-

2 3

9

，
结合图象可知，当a＞0时，
当b∈（0，1）时，实数a的取值范围为(0，

2 3

9

)；
同理，当a＜0时，实数a的取值范围为(0，

2 3

9

)；
当b∈（0，1）时，实数a的取值范围为(-

2 3

9

，0)；
又当a=0时，函数f（x）=

1

x

，g（x）=bx，的图象有且仅有两个不同的公共点．
故答案为：(-

2 3

9

，

2 3

9

)．

点评：本题考查的是函数图象，直接利用图象判断，利用了构造函数的方法，利用函数与导数知识求解．要求具有转化、分析解决问题，由一般到特殊的能力．题目立意较高，很好的考查能力．