Question

2．若对于任意实数x∈[3，2010]，任意实数t∈[1，2]，不等式（x+$\frac{9}{x}$）+（2t²-t-m）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别构造函数f（x）=x+$\frac{9}{x}$，g（t）=-2t²+t+m，由题意转化为f（x）_min＞g（t）_max，利用导数求出f（x）_min，利用二次函数的性质求出g（t）_max，问题得以解决．

解答 解：（x+$\frac{9}{x}$）+（2t²-t-m）≥0，
∴x+$\frac{9}{x}$≥-2t²+t+m，
分别设f（x）=x+$\frac{9}{x}$，g（t）=-2t²+t+m，
∵对于任意实数x∈[3，2010]，任意实数t∈[1，2]，不等式（x+$\frac{9}{x}$）+（2t²-t-m）≥0恒成立，
∴对于任意实数x∈[3，2010]，任意实数t∈[1，2]，f（x）_min≥g（t）_max，
∴f′（x）=1-$\frac{9}{{x}^{2}}$，
∴当x∈[3，2010]，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在[3，2010]为增函数，
∴f（x）_min=f（3）=3+3=6，
∵g（t）=-2t²+t+m，开口向下，对称轴为t=$\frac{1}{4}$，
∴g（t）在[1，2]为减函数，
∴g（t）_max=g（1）=-2+1+m=m-1，
∴6≥m-1，
∴m≤7，
∴实数m的取值范围为（-∞，7]

点评 本题考查函数的性质和函数恒成立问题的应用，考查化归与转化的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．