题目内容
定义函数fn（x）=（1+x）n-1，x＞-2，n∈N。
（1）求证：fn（x）≥nx；
（2）是否存在区间[a，0]（a<0），使函数在区间[a，0]上的值域为[ka，0]？若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，0]，若不存在，说明理由。
（1）求证：fn（x）≥nx；
（2）是否存在区间[a，0]（a<0），使函数在区间[a，0]上的值域为[ka，0]？若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，0]，若不存在，说明理由。
解：（1） 令  则  当  时， 当  时， ∴g（x）在x=0处取得极小值  ，同时g（x）是单峰函数，则g（0）也是最小值∴  即  （当且仅当x=0时取等号）； |
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（2）  令  得 ， ∴当  时， 当  时， 当  故h（x）的草图如图所示 ①在  时， 最小值 ∴  ②在  时， 最小值  ， ③在  时， 最小值= ∴  ， 时取等号综上讨论可知k的最小值为  ，此时 。 |
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