题目内容

定义函数f_n（x）=（1+x）ⁿ-1，x＞-2，n∈N。
（1）求证：f_n（x）≥nx；
（2）是否存在区间[a，0]（a<0），使函数在区间[a，0]上的值域为[ka，0]？若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，0]，若不存在，说明理由。

解：（1）令则当时，当时， ∴g（x）在x=0处取得极小值，同时g（x）是单峰函数，则g（0）也是最小值 ∴ 即（当且仅当x=0时取等号）；
（2）令得， ∴当时，当时，当故h（x）的草图如图所示 ①在时，最小值 ∴ ②在时，最小值， ③在时，最小值= ∴，时取等号综上讨论可知k的最小值为，此时。

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（1）求证：y=f_n（x）图象的右端点与y=f_n+1（x）图象的左端点重合；并回答这些端点在哪条直线上．
（2）若直线y=k_nx与函数f_n（x）=-（x-n）²+n，n-1≤x≤n（n≥2，n∈N^*）的图象有且仅有一个公共点，试将k_n表示成n的函数．
（3）对n∈N^*，n≥2，在区间[0，n]上定义函数y=f（x），使得当m-1≤x≤m（n∈N^*，且m=1，2，…，n）时，f（x）=f_m（x）．试研究关于x的方程f（x）=f_n（x）（0≤x≤n，n∈N^*）的实数解的个数（这里的k_n是（2）中的k_n），并证明你的结论．

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（2）是否存在区间[a，0]（a＜0），使函数h（x）=f₃（x）-f₂（x）在区间[a，0]上的值域为[ka，0]若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，0]，若不存在，说明理由．