Question

定义函数f_n（x）=（1+x）ⁿ﹣1，x＞﹣2，x∈N*．
（1）求证：f_n（x）≥nx；
（2）是否存在区间[a，0]（a＜0），使函数h（x）=f₃（x）﹣f₂（x）在区间[a，0]上的值域为[ka，0]，若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，0]，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明：令g（x）=f_n（x）﹣nx=（1+x）ⁿ﹣1﹣nx．
则g'（x）=n（x+1）^n﹣1﹣n=n[（x+1）^n﹣1﹣1]，
∴当﹣2＜x＜0时，g'（x）＜0；
当x＞0时g'（x）＞0．
∴g（x）在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
∴当x=0时，g（x）_min=g（0）=0，即g（x）≥g（x）_min=g（0）=0，
∴f_n（x）≥nx；
（2）解：h（x）=f₃（x）﹣f₂（x）=x（1+x）²，x∈[a，0]（a＜0），
∴h'（x）=（1+x）²+2x（1+x）=（1+x）（1+3x），
令h'（x）=0，得x=﹣1或
∵h（﹣1）=h（0）=0，h（）=h（）=﹣
∴若，则函数在[a，0]上单调增，
∴h（a）=ka，h（0）=0，
∴a（1+a）²=ka，
∴k=（1+a）²∈（）；
若，则h（）=ka，h（0）=0，
∴k=﹣∈；
若，则h（a）=ka，h（0）=0，
∴a（1+a）²=ka，
∴k=（1+a）²∈（，+∞）
综上知，k∈[，+∞）
∴最小的k值为，相应的区间为[，0]