Question

定义函数f_n（x）=（1+x）ⁿ-1，x＞-2，x∈N^*．
（1）求证：f_n（x）≥nx；
（2）是否存在区间[a，0]（a＜0），使函数h（x）=f₃（x）-f₂（x）在区间[a，0]上的值域为[ka，0]若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，0]，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）令g（x）=f_n（x）-nx=（1+x）ⁿ-1-nx，求出导函数，利用导数研究函数的增减性得到函数的最小值为g（0）=0，即可得证；
（2）h（x）=f₃（x）-f₂（x）=x（1+x）²，x∈[a，0]（a＜0），求导函数，分类讨论，确定函数的最值，利用函数h（x）=f₃（x）-f₂（x）在区间[a，0]上的值域为[ka，0]，即可求得结论．

解答：（1）证明：令g（x）=f_n（x）-nx=（1+x）ⁿ-1-nx．
则g'（x）=n（x+1）^n-1-n=n[（x+1）^n-1-1]，
∴当-2＜x＜0时，g'（x）＜0；当x＞0时g'（x）＞0．
∴g（x）在（-2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
∴当x=0时，g（x）_min=g（0）=0，即g（x）≥g（x）_min=g（0）=0，
∴f_n（x）≥nx；
（2）解：h（x）=f₃（x）-f₂（x）=x（1+x）²，x∈[a，0]（a＜0），
∴h'（x）=（1+x）²+2x（1+x）=（1+x）（1+3x），
令h'（x）=0，得x=-1或-

1

3

∵h（-1）=h（0）=0，h（-

1

3

）=h（-

4

3

）=-

4

27

∴若-

1

3

＜a＜0，则函数在[a，0]上单调增，∴h（a）=ka，h（0）=0，∴a（1+a）²=ka，∴k=（1+a）²∈（

4

9

，1）；
若-

4

3

≤a≤-

1

3

，则h（-

1

3

）=ka，h（0）=0，∴k=-

4

27a

∈[

1

9

，

4

9

]；
若a＜-

4

3

，则h（a）=ka，h（0）=0，∴a（1+a）²=ka，∴k=（1+a）²∈（

1

9

，+∞）
综上知，k∈[

1

9

，+∞）
∴最小的k值为

1

9

，相应的区间为[-

4

3

，0]

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，综合性强．