Question

【题目】已知函数,其中是函数的导数, 为自然对数的底数, (,).

（Ⅰ）求的解析式及极值;

（Ⅱ）若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,为极大值点,且；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先对函数求导，令求出，再求出，即可得出解析式；再根据函数的导数，确定函数的单调性，进而可得出其极值；

（Ⅱ）先由得，构造函数，对其求导，分别讨论和，求出最小值，得到，再令，用导数的方法求最小值，即可得出结果.

（Ⅰ）由已知得,

令, 得,即,

又, ∴,

从而, ∴,

又在上递增,且,

∴当时, ；当时, ,

故为极大值点,且.

（Ⅱ）由得，

令，得,

①当时, 在上单调递增,

时, 与相矛盾;

②当时, ,

当时, ,

即,

∴,,

令,则,

∴,,

当时, ,

即当,时,

∴的最大值为,