Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，-2≤x≤-1}\\{ln（x+2），-1＜x≤2}\end{array}\right.$，若g（x）=f（x）-a（x+2）的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e-1}$）
• B． （0，$\frac{1}{3e}$）
• C． [$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）
• D． [$\frac{2ln2}{3}$，$\frac{1}{3e}$）

Answer 1

分析 g（x）的图象与x轴有3个不同的交点可化为y=f（x）与y=a（x+2）有3个不同交点，从而作图求解．

解答 解：∵g（x）的图象与x轴有3个不同的交点，
∴y=f（x）与y=a（x+2）有3个不同交点，
作y=f（x）与y=a（x+2）的图象如下，
易知直线y=a（x+2）过定点A（-2，0），斜率为a．
当直线y=a（x+2）与y=ln（x+2）相切时是一个临界状态，
设切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{a=y′=\frac{1}{{x}_{0}+2}}\\{a（{x}_{0}+2）=ln（{x}_{0}+2）}\end{array}\right.$，
解得，x₀=e-2，a=$\frac{1}{e}$，
又函数过点B（2，ln4），
k_AB=$\frac{ln4}{2-（-2）}$=$\frac{ln2}{2}$，
故$\frac{ln2}{2}$≤a＜$\frac{1}{e}$．
故选C．

点评 本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用，注意临界状态的确定．