Question

19．某工厂要设计一个长方体形状的集装箱，其容积为96m³，高度为6m．已知集装箱6个面每1m²的造价均为100元，设集装箱底面一条边的长为xm．
（1）求集装箱总造价y关于x的函数关系式；
（2）怎样设计集装箱能使总造价最低？最低总造价为多少元？

Answer 1

分析 （1）由题意可得底面的另一边长为$\frac{96}{6x}$=$\frac{16}{x}$m，运用长方体的表面积公式，结合条件即可得到函数的解析式，注意x＞0；
（2）运用基本不等式可得x+$\frac{16}{x}$的最小值，进而得到所求最低造价．

解答 解：（1）由题意可得底面的另一边长为$\frac{96}{6x}$=$\frac{16}{x}$m，
集装箱总造价y=100（12x+32+$\frac{192}{x}$）=1200（x+$\frac{16}{x}$）+3200（x＞0）；
（2）由x+$\frac{16}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{16}{x}}$=8，
当且仅当x=$\frac{16}{x}$，即x=4时，取得等号，
可得y≥1200×8+3200=12800，
即有集装箱底面为边长为4m的正方形时，
总造价最低，且为12800元．

点评 本题考查基本不等式在最值问题中的运用，考查函数的解析式和最值的求法，考查运算能力，属于基础题．