Question

设函数，其中。
（Ⅰ）若，求a的值；
（Ⅱ）当时，讨论函数在其定义域上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数，不等式都成立。

Answer 1

（Ⅰ）解： 函数的定义域是                     1分
对求导，得                 3分
由得
解得                                                      4分
（Ⅱ）解由（Ⅰ）知
令，得，则。
所以当时，
方程存在两根
x变化时，与的变化情况如下表：

				0
	↗	极大值	↘	极小值	↗

 即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；                  7分
当时，因为
所以（当且仅当时，等号成立），
所以函数在上单调递增；         8分
当时，因为
所以函数在上单调递增。
综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递增。                                        9分
（Ⅲ）证明：当时，
令
则在上恒成立，
所以在上单调递增，                                          10分
则当时，恒有
即当时，有
整理，得                                      11分
对任意正整数n，取得，
所以，整理得           12分
则有
……

所以
，
即                                           14分

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的单调性和极值以及不等式的恒成立问题的综合运用。
（1）因为先求解导数，然后令x=1得到，求解得到a的值；
（2）当a<0时，分类讨论函数f(x)在其定义域上的单调性；
（3）要证明：对任意的正整数n，不等式都成立,要用到当a=1时函数的单调性中的结论来分析求证。