Question

13．己知a，b，c为正实数，且a+b+c=2．
（1）求证：ab+bc+ac≤$\frac{4}{3}$；
（2）若a，b，c都小于1，求a²+b²+c²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a+b+c=2，得到8=2a²+2b²+2c²+4ab+4bc+4ca，利用基本不等式得以证明，
（2）由（1）和基本不等式得到a²+b²+c²≥$\frac{4}{3}$，再根据a-a²=a（1-a），0＜a＜1，得到a＞a²，继而求出范围．

解答 （1）证明：∵a+b+c=2，
∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=4，
∴2a²+2b²+2c²+4ab+4bc+4ca=8
∴8=2a²+2b²+2c²+4ab+4bc+4ca≥6ab+6abc+6ac，当且仅当a=b=c时取等号，
∴ab+bc+ac≤$\frac{4}{3}$；
（2）解：由（1）知，a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=4，
∴4≤a²+b²+c²+a²+b²+b²+c²+a²+c²=3（a²+b²+c²），当且仅当a=b=c时取等号，
∴a²+b²+c²≥$\frac{4}{3}$，
∵a-a²=a（1-a），0＜a＜1，∴a＞a²，
同理b＞b²，c＞c²，
∴a²+b²+c²＜a+b+c=2，
∴$\frac{4}{3}$≤a²+b²+c²＜2，
∴a²+b²+c²的取值范围为[$\frac{4}{3}$，2）．

点评 本题考查了基本不等式的应用，关键是掌握等号成立的条件，属于基础题．