Question

（2012•许昌县一模）已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n=n²，n∈N^*，数列{b_n} 是等比数列，且满足：b₁=a₁，2b₃=b₄．
（I）求数列{a_n} 和{b_n} 的通项公式；
（n）设cn=

1

an•an+1

，求数列{c_n} 前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知Sn=n2，利用，a_n=S_n-S_n-1（n≥2）可求，然后检验n=1时是否适合，从而可求a_n，结合已知及等比数列的通项公式可求q，及b_n2q²=q³
（II）由（I）知a_n=2n-1，Cn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项可求和

解答：解：（I）由已知Sn=n2
当n=1时，a₁=S₁=1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
而a₁=2×1-1=1适合上式
∴a_n=2n-1（n∈N₊）
∵b₁=a₁=1，2b₃=b₄．
∴_2q²=q³
∴q=2，bn=2n-1（6分）
（II）由（I）知a_n=2n-1
∴Cn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

∴Tn=

n

2n+1

（12分）

点评：本题主要考查了利用递推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求解数列的通项公式，等差及等比数列的通项公式的应用，数列求和中的裂项求和