Question

7．已知f（α）=$\frac{cos（π-α）sin（\frac{3}{2}π+α）}{cosα}$．
（1）若α为第二象限角且f（α）=-$\frac{3}{5}$，求$\frac{sin2α+cos2α+1}{1+tanα}$的值；
（2）若5f（α）=4f（3α+2β）．试问tan（2α+β）•tan（α+β）是否为定值（其中α≠kπ+$\frac{π}{2}$，α+β≠kπ+$\frac{π}{2}$，2α+β≠kπ+$\frac{π}{2}$，3α+2β≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z）？若是，请求出定值；否则，说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接化简f（α）=cosα，由α为第二象限角求出sinα，再由二倍角公式化简计算得答案；
（2）由5f（α）=4f（3α+2β），得5cos[（2α+β）-（α+β）]=4cos[（2α+β）+（α+β）]，进一步化简可得cos（2α+β）cos（α+β）=-9sin（2α+β）sin（α+β），由已知条件可得cos（2α+β）cos（α+β）≠0，即可求出答案．

解答 解：f（α）=$\frac{cos（π-α）sin（\frac{3}{2}π+α）}{cosα}$=$\frac{（-cosα）（-cosα）}{cosα}=cosα$，
（1）$f（α）=cosα=-\frac{3}{5}$，α为第二象限角，得$sinα=\frac{4}{5}$．
$\frac{sin2α+cos2α+1}{1+tanα}$=$\frac{2sinαcosα+co{s}^{2}α-si{n}^{2}α+1}{1+\frac{sinα}{cosα}}$
=$\frac{{2×\frac{4}{5}×（-\frac{3}{5}）+\frac{9}{25}-\frac{16}{25}+1}}{{1+（-\frac{4}{3}）}}=\frac{18}{25}$；
（2）∵5f（α）=4f（3α+2β），
∴5cos[（2α+β）-（α+β）]=4cos[（2α+β）+（α+β）]．
可得：5[cos（2α+β）cos（α+β）+sin（2α+β）sin（α+β）]
=4[cos（2α+β）cos（α+β）-sin（2α+β）sin（α+β）]，
化简：cos（2α+β）cos（α+β）=-9sin（2α+β）sin（α+β）．
又$α+β≠kπ+\frac{π}{2}，\;\;2α+β≠kπ+\frac{π}{2}\;，k∈Z$
知cos（2α+β）cos（α+β）≠0
故tan（2α+β）•tan（α+β）=$-\frac{1}{9}$．
综上tan（2α+β）•tan（α+β）是定值$-\frac{1}{9}$．

点评 本题考查三角函数化简求值，考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，是中档题．