题目内容
3．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2asinθ （a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=3t+1}\\{y=4t+3}\end{array}}\right.$（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且$|{AB}|≥\sqrt{3}a$．求实数a的取值范围？
分析 （Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；
（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．
解答 解：（Ⅰ）∵ρ=2asinθ （a＞0）．
∴ρ2=2aρsinθ，
即x2+y2=2ay，即x2+（y-a）2=a2，（a＞0）．
则圆C的标准方程为x2+（y-a）2=a2，（a＞0）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=3t+1}\\{y=4t+3}\end{array}}\right.$，消去参数t得4x-3y+5=0，
即直线l的普通方程为4x-3y+5=0；
（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R=a，
则圆心到直线的距离d=$\frac{|5-3a|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{|5-3a|}{5}$，
∵$|{AB}|≥\sqrt{3}a$．
∴2$\sqrt{{a}^{2}-{d}^{2}}$≥$\sqrt{3}$a，
即a2-d2≥$\frac{3}{4}$a2，
则d2≤$\frac{{a}^{2}}{4}$，
即d≤$\frac{a}{2}$，
则$\frac{|5-3a|}{5}$≤$\frac{a}{2}$，
则-$\frac{a}{2}$≤$\frac{3a-5}{5}$≤$\frac{a}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≤\frac{3a-5}{5}}\\{\frac{3a-5}{5}≤\frac{a}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{10}{11}}\\{a≤10}\end{array}\right.$得$\frac{10}{11}$≤a≤10．
即实数a的取值范围是$\frac{10}{11}$≤a≤10．
点评 本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的关系，以及直线和圆相交的弦长公式的应用，考查学生的转化能力．
如图已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC、AD的中点
如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是（ ）| A． | 6π | B． | 7π | C． | 12π | D． | 14π |
| A． | $\frac{16}{3}$ | B． | 32 | C． | $\frac{32}{3}$ | D． | $\frac{64}{3}$ |
某几何体的三视图如下，则几何体的表面积为（ ）| A． | 2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$ | B． | 6+2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{2}$ | C． | 2+2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$ | D． | 6+2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$ |
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，MN⊥PB．