Question

已知向量

a

，

b

满足

a

=(x，2)，

b

=(1，-3)，且（2

a

+

b

）⊥

b

．
（1）求向量

a

的坐标；     
（2）求向量

a

与

b

的夹角．

Answer 1

分析：（1）首先利用平面向量的数乘运算及坐标加法运算求出2

a

+

b

的坐标，然后直接利用向量垂直的坐标运算列式求解x的值，则向量

a

的坐标可求；
（2）直接利用两向量的夹角公式求出两个向量夹角的余弦值，根据夹角的范围进一步求出两个向量的夹角．

解答：解：（1）∵

a

=(x，2)，

b

=(1，3)，∴2

a

+

b

=2(x，2)+(1，-3)=(2x+1，1)．
又∵（2

a

+

b

）⊥

b

，∴（2x+1，1）•（1，-3）=2x+1+1×（-3）=0
解得x=1，∴

a

=(1，2)；
（2）设向量

a

与

b

的夹角为θ，∵cosθ=

a • b

| a || b |

∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

(1，2)•(1，-3)

1+22 1+(-3)2

=-

2

2

∵0≤θ≤π，∴向量与的夹角θ=

3π

4

．

点评：本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查了两个向量的夹角公式，考查计算能力，是基础题．