题目内容

（2013•镇江二模）已知向量
a
，
b
满足|
a
|=
2
，|
b
|=1，且对一切实数x，|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|恒成立，则
a
与
b
的夹角大小为
3π
4
3π
4
．
分析：由已知|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|利用模的计算公式得
a
2+2x
a
•
b
+x2
b
2
≥
a
2+2
a
•
b
+
b
2
，化为x2
b
2+2x
a
•
b
-2
a
•
b
-
b
2≥0，即x2+2
2
xcos＜
a
，
b
＞-2
2
cos＜
a
，
b
＞-1≥0，
由于对一切实数x，|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|（即上式）恒成立，必须满足△=(2
2
cos＜
a
，
b
＞)2+4(2
2
cos＜
a
，
b
＞+1)≤0，解出即可．
解答：解：由|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|得
a
2+2x
a
•
b
+x2
b
2
≥
a
2+2
a
•
b
+
b
2
，化为x2
b
2+2x
a
•
b
-2
a
•
b
-
b
2≥0，
∵|
b
|=1，|
a
|=
2
．
∴x2+2
2
xcos＜
a
，
b
＞-2
2
cos＜
a
，
b
＞-1≥0，
∵对一切实数x，|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|（即上式）恒成立，
∴△=(2
2
cos＜
a
，
b
＞)2+4(2
2
cos＜
a
，
b
＞+1)≤0，化为(2
2
cos＜
a
，
b
＞+2)2≤0，
得cos＜
a
，
b
＞=-
2
2
，
∵＜
a
，
b
＞∈[0，π]，∴＜
a
，
b
＞=
3π
4
．
故答案为
3π
4
．
点评：熟练掌握向量模的计算公式、数量积运算、恒成立问题的等价转化是解题的关键．
练习册系列答案
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（2013•镇江二模）已知a为正的常数，函数f（x）=|ax-x2|+lnx．
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f(x)x
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x2
a2
+
y2
b2
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1
3
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S1
S2
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1
2
，
1
bn
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b
n
n
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b
n+1
n
，比较xx与yy的大小．
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3+i1+i
对应的点在第
四
四
象限．
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{x|-1≤x≤1}
{x|-1≤x≤1}
．

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