Question

函数y=

1

2

cos2x-4sinx-

3

2

的值域是

 

．

Answer 1

分析：函数y=

1

2

cos2x-4sinx-

3

2

变为关于sinx的二次函数，再由二次函数的性质求值域

解答：解：y=

1

2

cos2x-4sinx-

3

2

=-sin²x-4sinx-1=-（sinx+2）²+3
又sinx∈[-1，1]
∴函数为减函数
∴当sinx=-1时，函数f（x）取到最大值为2
当sinx=1时，函数f（x）取到最小值为-6
综上函数y=

1

2

cos2x-4sinx-

3

2

的值域是[-6，2]
故答案为：[-6，2]

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，求解本题关键是将函数变为关于sinx的二次函数，由配方法将本方，根据正弦函数的有界性判断出函数的最值，从而得出函数的值域，本题是三角函数求值域的题型中一个很重要的题型，其规律是转化为关于三角函数二次函数，将问题变为二次函数在闭区间上的最值问题