Question

已知函数y=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R．
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和两角和的正弦函数化简函数为y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，借助正弦函数的最大值，求出函数y取得最大值时，自变量x的集合；
（2）由y=sinx（x∈R）的图象，按照先φ，向左平移

π

6

，把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），图象上各点纵坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），最后把得到的图象向上平移

5

4

个单位长度，得到函数y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

的图象；

解答：解：（1）y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1
=

1

4

（2cos²x-1）+

1

4

+

3

4

（2sinxcosx）+1
=

1

4

cos2x+

3

4

sin2x+

5

4

=

1

2

（cos2x•sin

π

6

+sin2x•cos

π

6

）+

5

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

（6分）
y取得最大值必须且只需
2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，
即x=

π

6

+kπ，k∈Z．
所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为
{x|x=

π

6

+kπ，k∈Z}（8分）
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
①把函数y=sinx的图象向左平移

π

6

，得到函数y=sin（x+

π

6

）的图象；
②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+

π

6

）的图象；
③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的

1

2

倍（横坐标不变），得到函数y=

1

2

sin（2x+

π

6

）的图象；
④把得到的图象向上平移

5

4

个单位长度，得到函数y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

的图象；综上得到函数y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1的图象．（12分）

点评：本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．注意函数图象的变换的顺序：→φ→ω→A→b的过程．