Question

8．已知抛物线y=x²，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 确定直线AB方程为y=kx+1，该直线过定点（0，1）．点M是直角三角形AOB斜边上的垂足，点M在以OC为直径的圆上运动，即可求点M的轨迹方程．

解答 解：设直线AB方程为y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线AB方程代入抛物线方程y=x²，
得x²-kx-b=0，
则x₁+x₂=k，x₁x₂=-b，
∴y₁y₂=b²，
∵OA⊥OB，∴k_OA•k_OB=-b=-1，b=1．
于是直线AB方程为y=kx+1，该直线过定点（0，1）．
由题意知，点M是直角三角形AOB斜边上的垂足，
∴点M在以OC为直径的圆上运动，其运动轨迹方程为x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（y≠0）．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．