Question

已知圆心为C的圆经过三个点O（0，0），A（1，3），B（4，0）．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线x+2y+m=0与圆C相交于点M，N两点，且△CMN的面积为

5 3

4

，求实数m的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）设圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆C的方程；
（2）根据三角形的面积公式结合点到直线的距离公式即可得到结论．

解答： 解：（1）设圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圆经过三个点O（0，0），A（1，3），B（4，0）．
∴

F=0 1+9+D+3E+F=0 16+4D+F=0

，解得D=-4，E=-2，F=0，
即圆C的方程为x²+y²-4x-2y=0．
（2）设点C到直线MN的距离d，
则MN=2

r2-d2

=2

5-d2

，
∴△CMN的面积S=

1

2

×2

5-d2

×d=

5 3

4

，]
得d²=

5

4

或

15

4

，
即d=

5

2

或

15

2

，
∴

|2+2+m|

5

=

5

2

或

|2+2+m|

5

=

15

2

，
解得m=-

3

2

或-

13

2

或m=-4±

5 3

2

．

点评：本题主要考查直线和圆的方程的应用，利用待定系数法结合点到直线的距离是解决本题的关键．