Question

已知两个函数g(x)=(

1

a

-

1

4

)x(a≠0，a＞-1)，h(x)=(4a-1)

1

x

+2(x＞0)，函数g（x）与h（x）的和函数为f（x）；
（1）求函数f（x）；
（2）当a=5时，求函数f（x）在x∈[1，2]上的值域；
（3）若函数f（x）的最小值为m，且m＞2+

7

，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数g（x）与h（x）的和函数为f（x），分别代入g（x）与h（x）即可求得函数f（x）；
（2）将a=5代入f（x）可得f（x）=-

1

20

x+

19

x

+2，利用函数的单调性求出函数的值域即可；
（3）根据函数f（x）结构的特点，对其相应的两个系数分类讨论，分别研究其单调性，进而求其最小值列出不等式，求解即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数g（x）与h（x）的和函数为f（x），
∴f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2．
（2）∵a=5，
∴f（x）=-

1

20

x+

19

x

+2，
∴f（x）在[1，2]上为单调减函数，
∴当x=1时，f（x）_max=

419

20

，
当x=2时，f（x）_min=

57

5

，
∴当a=5时，求函数f（x）在x∈[1，2]上的值域为[

57

5

，

419

20

]．
（3）f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2，
①当

1 a - 1 4 ＞0 4a-1＞0 a≠0，a＞-1

，即

1

4

＜a＜4时，
∵x＞0，
∴f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2≥2

( 1 a - 1 4 )x•(4a-1) 1 x

+2=2

4-a 4a •(4a-1)

+2，当且仅当(

1

a

-

1

4

)x=(4a-1)

1

x

时取等号，
∵函数f（x）的最小值为m，
∴m=2

4-a 4a •(4a-1)

+2＞2+

7

，解得，

1

2

＜a＜2，
∴实数a的取值范围为

1

2

＜a＜2；
②

1 a - 1 4 ＜0 4a-1＜0 a≠0，a＞-1

时，f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2在x∈（0，+∞）上只有最大值，没有最小值，不符合题意；
③

1 a - 1 4 ≥0 4a-1≤0 a≠0，a＞-1

时，f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2在x∈（0，+∞）上单调递增，没有最小值，不符合题意；
④

1 a - 1 4 ＜0 4a-1＞0 a≠0，a＞-1

时，f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2在x∈（0，+∞）上单调递减，没有最小值，不符合题意；
综合①②③④，实数a的取值范围为：

1

2

＜a＜2．

点评：本题考查了利用函数的单调性求函数的值域问题，以及运用分类讨论的数学思想方法讨论函数的单调性，涉及了基本不等式的运用，在使用基本不等式的时候要注意“一正，二定，三相等”条件的判断．属于中档题．