Question

13．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A-$\frac{π}{6}$）-cos（A+$\frac{5π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{5}$，sin²B+cos2C=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式和两角和与差公式化简即可求解角A的大小．
（2）利用二倍角公式化简sin²B+cos2C=1，可得sin²B=2sin²C，利用正余弦定理即可求解b，c的大小．即可求解△ABC的面积．

解答 解：（1）sin（A-$\frac{π}{6}$）-cos（A+$\frac{5π}{3}$）=sin（A-$\frac{π}{6}$）-cos（2π-A$-\frac{5π}{3}$）=sin（A-$\frac{π}{6}$）-cos（A+$\frac{π}{3}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA-$\frac{1}{2}$cosA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
即cosA=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{3π}{4}$．
（2）由sin²B+cos2C=1，可得sin²B=2sin²C，
由正弦定理，得b²=2c²，即$b=\sqrt{2}c$．a=$\sqrt{5}$，
cosA=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
解得：c=1，b=$\sqrt{2}$
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了诱导公式和两角和与差公式化简和计算能力，同时考查了二倍角公式化简以及正余弦定理的运用．属于中档题．