Question

如图所示,抛物线C₁:x²=4y,C₂:x²=-2py(p>0).点M(x₀,y₀)在抛物线C₂上,过M作C₁的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x₀=1-时,切线MA的斜率为-.

(1)求p的值;
(2)当M在C₂上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).

Answer 1

(1)2   (2) x²=y

解:(1)因为抛物线C₁:x²=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为-,
所以A点坐标为.
故切线MA的方程为y=-(x+1)+ .
因为点M(1-y₀)在切线MA及抛物线C₂上,于是
y₀=-(2-)+=-,                   ①
y₀=-=-.                       ②
由①②得p=2.
(2)设N(x,y),A,B,
x₁≠x₂,由N为线段AB中点知
x=,                                       ③
y=.                                       ④
切线MA,MB的方程为
y=(x-x₁)+  ,                                 ⑤
y=(x-x₂)+  .                                 ⑥
由⑤⑥得MA,MB的交点M(x₀,y₀)的坐标为
x₀=,y₀=.
因为点M(x₀,y₀)在C₂上,
即=-4y₀,
所以x₁x₂=-.                                ⑦
由③④⑦得
x²=y,x≠0.
当x₁=x₂时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x²=y.
因此AB中点N的轨迹方程为x²=y.