Question

如图,抛物线E:y²=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.

(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|;
(2)若|AF|²=|AM|·|AN|,求圆C的半径.

Answer 1

（1）2  （2）

解:(1)抛物线y²=4x的准线l的方程为x=-1.
由点C的纵坐标为2,点C在抛物线E上,
得点C的坐标为(1,2),
所以点C到准线l的距离d=2,
又|CN|=|CO|=,
所以|MN|=2=2=2.
(2)设C（,y₀）,
则圆C的方程为（x-）²+(y-y₀)²=+,
即x²-x+y²-2y₀y=0.
由x=-1,
得y²-2y₀y+1+=0,
设M(-1,y₁),N(-1,y₂),则

由|AF|²=|AM|·|AN|,
得|y₁y₂|=4,
所以+1=4,
解得y₀=±,此时Δ>0.
所以圆心C的坐标为（,）或（,-）,
从而|CO|²=,
|CO|=,
即圆C的半径为.