Question

已知椭圆C₁：，抛物线C₂：（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点．
（1）当AB⊥x轴时，求p，m的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；
（2）若且抛物线C₂的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程．

Answer 1

解：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为
x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，-）．
因为点A在抛物线上，所以，即．
此时C₂的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上．（6分）
（2）解法一　当C₂的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-1）．
由消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．…①
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程①的两根，x₁+x₂=．
因为AB既是过C₁的右焦点的弦，又是过C₂的焦点的弦，
所以，且．
从而．
所以，即．解得．…（12分）
因为C₂的焦点在直线y=k（x-1）上，所以．即．
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为．…（15分）
解法二　当C₂的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程
为y=k（x-1）．
由消去y得．…①
因为C₂的焦点在直线y=k（x-1）上，
所以，即．
代入①有．即．…②
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程②的两根，
x₁+x₂=．
由消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．…③
由于x₁，x₂也是方程③的两根，所以x₁+x₂=．
从而=．解得．…．（12分）
因为C₂的焦点在直线y=k（x-1）上，
所以．
即．
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为．…．（15分）
解法三　设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
因为AB既过C₁的右焦点F（1，0），又是过C₂的焦点，
所以．
即．…①
由（Ⅰ）知x₁≠x₂，
于是直线AB的斜率，…②
且直线AB的方程是y=-3m（x-1），
所以．…③
又因为，
所以．…④
将①、②、③代入④得，
即．…．（12分）
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为．…．（15分）
分析：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为x=1，由此能够判断出C₂的焦点坐标不在直线AB上．
（2）解法一：当C₂的焦点在AB时，设直线AB的方程为y=k（x-1）．由得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），x₁+x₂=．由AB既是过C₁的右焦点的弦，又是过C₂的焦点的弦，所以．由此入手能够求出直线AB的方程．
解法二：当C₂的焦点在AB时，设直线AB的方程y=k（x-1）．由得．因为C₂的焦点在直线y=k（x-1）上，所以．．由此入手能够求出直线AB的方程．
解法三：设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），因为AB既过C₁的右焦点F（1，0），又是过C₂的焦点，所以．由此入手能够求出直线AB的方程．
点评：本昰考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．