Question

已知椭圆C₁：，抛物线C₂：（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点。
（1）当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；
（2）若且抛物线C₂的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程。

Answer 1

解；（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，
直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，-）
因为点A在抛物线上，
所以，即
此时C₂的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上。
（2）当C₂的焦点在AB时，由（1）知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为
由消去y得 ①
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程①的两根，x₁+x₂=
因为AB既是过C₁的右焦点的弦，又是过C₂的焦点的弦，
所以，且
从而
所以，即
解得，即
因为C₂的焦点在直线上，
所以
即或
当时，直线AB的方程为
当时，直线AB的方程为。