Question

已知椭圆C₁：，抛物线C₂：（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点.

（1）当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

（2）是否存在m、p的值，使抛物线C₂的焦点恰在直线AB上？若存在.求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解:（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，）.?

因为点A在抛物线上,所以=2p,即p=.此时C₂的焦点坐标为(,0).该焦点不在直线AB上.?

(2)解法一:假设存在m、p的值使C₂的焦点恰在直线AB上，由（1）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k（x-1）.?

由

消去y得(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0.                    ①?

设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂、y₂），则x₁、x₂是方程①的两根，x₁+x₂=，

由消去y得（kx-k-m）²=2px.         ②?

因为C₂的焦点F′(,m)在y=k(x-1)上,?

所以m=k(-1),即m+k=,?

代入②有(kx-) ²=2px,?

即k²x²-p(k²+2)x+.                          ③?

由于x₁、x₂也是方程③的两根，?

所以x₁+x₂=,?

从而，p=.      ④?

又AB过C₁、C₂的焦点,?

所以|AB|=（x₁+）+（x₂+）=x₁+x₂+p=（2-x₁）+（2-x₂）.?

则p=4-(x₁+x₂)=.             ⑤?

由④⑤得,

即k⁴-5k²-6=0，解得k²=6，于是k=±,p=.?

因为C₂的焦点F（，m）在直线y=±(x-1)上，?

所以m=±(-1),即m=或m=-，由上知,满足条件的m、p存在，且m=或m=-，p=.?

解法二：设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），?

因为AB既过C₁的右焦点F（1，0），又过C₂的焦点F′(,m)?

所以|AB|=（x₁+）+（x₂+）=x₁+x₂+p=（2-x₁）+（2-x₂）.?

即x₁+x₂=(4-p).                         ①?

由(1)知x₁≠x₂,p≠2,于是直线AB的斜率?

k=,                 ②?

且直线AB的方程是y= (x-1)，?

所以y₁+y₂= (x₁+x₂-2)=.      ③?

又因为

所以3(x₁+x₂)+4(y₁+y₂)·=0.         ④?

将①②③代入④得m²=.     ⑤?

因为?

所以y₁+y₂-2m=2p,                   ⑥?

将②③代入⑥得m²=.             ⑦?

由⑤⑦得.?

即3p²+20p-32=0.?

解得p=或p=-8（舍去）?

将p=代入⑤得m²=，所以m=或m=-,?

由上知，满足条件的m、p存在，且m=或m=-.p=.

点评：本题主要考查了椭圆、双曲线、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查运算、综合分析和解决问题的能力.