Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PD=2，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若E是PB中点，求点B平面EDC的距离．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥平面ABCD得PD⊥AC，由菱形性质得AC⊥BD，故而AC⊥平面PBD，于是平面EAC⊥平面PBD；
（2）连结OE，则可证OE⊥平面ABCD，以O为原点建立空间坐标系，求出BC与平面CDE所成的角θ，则点B到平面EDC的距离为|BC|sinθ．

解答 证明：（1）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD
又PD?平面PBD，BD?平面PBD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD．
∵AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBD．
（2）连结OE，
∵O，E分别是BD，PB的中点，∴OE∥PD，OE=$\frac{1}{2}$PD=1．
∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD．
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
以O为原点，以OA，OB，OE为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，
∴△ABD，△BCD是等边三角形，
∴OB=OD=1，OA=OC=$\sqrt{3}$．
∴B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），D（0，-1，0），E（0，0，1）．
∴$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{DC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，1）．
设平面CDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+y=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2\sqrt{3}}{2•\sqrt{7}}$=-$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
设BC与平面CDE所成的角为θ，则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴点B到平面EDC的距离为|BC|•sinθ=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用与空间距离的计算，属于中档题．