Question

19．已知cos²α+cos²β+cos²γ=1，则sinαsinβsinγ的最大值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{9}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{9}$
• C． $\frac{2\sqrt{6}}{9}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 运用同角的平方关系可得sin²α+sin²β+sin²γ=2，再由三元基本不等式的变形：abc≤（$\frac{a+b+c}{3}$）³，可得sin²αsin²βsin²γ的最大值，进而得到所求最大值．

解答 解：由cos²α+cos²β+cos²γ=1，及同角的平方关系可得：
sin²α+sin²β+sin²γ=2，
可得sin²αsin²βsin²γ≤（$\frac{si{n}^{2}α+si{n}^{2}β+si{n}^{2}γ}{3}$）³=（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{8}{27}$，
即有|sinαsinβsinγ|≤$\frac{2\sqrt{6}}{9}$，当且仅当sin²α=sin²β=sin²γ=$\frac{2}{3}$，取得最大值．
即有sinαsinβsinγ的最大值为$\frac{2\sqrt{6}}{9}$．
故选：C．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用同角的平方关系和三元基本不等式，考查运算能力，属于中档题．