Question

已知函数
（Ⅰ）若f（x）的最小值记为h（a），求h（a）的解析式．
（Ⅱ）是否存在实数m，n同时满足以下条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时值域为[n²，m²]；若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设 ，利用换元法，可将已知函数化为一个二次函数，根据二次函数在定区间上的最值问题，即可得到h（a）的解析式．
（Ⅱ）由（I）中h（a）的解析式，易得在h（a）在（3，+∞）上为减函数，进而根据h（a）的定义域为[n，m]时值域为[n²，m²]构造关于m，n的不等式组，如果不等式组有解，则存在满足条件的m，n的值；若无解，则不存在满足条件的m，n的值．
解答：解：（Ⅰ）设 ，∵x∈[-1，1]，∴------------------------（1分）
则原函数可化为------------（2分）
讨论 ①当时，-------------（3分）
②当时，h（a）=φ（t）_min=φ（a）=3-a²-------------（4分）
③当a＞3时，h（a）=φ（t）_min=φ（3）=12-6a--------------（5分）
∴--------------（6分）

（Ⅱ） 因为h（a）=12-6a在（3，+∞）上为减函数，而m＞n＞3
∴h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）]-------------------------------（7分）
∵h（a）在[n，m]上的值域为[n²，m²]，
∴即：-----（9分）
两式相减得：6（m-n）=（m-n）（m+n）---------------------------------（10分）
又m＞n＞3∴m+n=6，而m＞n＞3时有m+n＞6，矛盾．-----------（11分）
故满足条件的实数m，n不存在．-------------------（12分）
点评：本题考查的知识点是指数函数的综合应用，其中（I）的关键是利用换元法，将函数解析式化为二次函数，（II）的关键是判断h（a）在（3，+∞）上为减函数进而构造关于m，n的不等式组．