Question

已知函数．
（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；
（Ⅱ）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f（x）=2求出x即可；
（II）由 t∈[1，2]时，3^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=，代入得到m的范围即可．
解答：解：（Ⅰ）当x≤0时f（x）=0，
当x＞0时，，
有条件可得，，
即2^2x-2×2^x-1=0，解得，∵2^x＞0，∴，∴．
（Ⅱ）当t∈[1，2]时，，
即m（2^2t-1）≥-（2^4t-1）．∵2^2t-1＞0，∴m≥-（2^2t+1）．
∵t∈[1，2]，∴-（1+2^2t）∈[-17，-5]，
故m的取值范围是[-5，+∞）．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题．属于基础题．恒成立问题多需要转化，因为只有通过转化才能使恒成立问题等到简化；转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用，同时转化过程更提出了等价的意识和要求．