Question

已知是偶函数.
(1)求的值；
(2)证明:对任意实数,函数的图像与直线最多只有一个交点；
(3)设若函数的图像有且只有一个公共点,求实数的取值范围.

Answer 1

(1)；(2)证明见解析；(3).

试题分析：(1)由，并进行检验；(2)原问题等价于证明方程组
最多只有一组解，即证方程最多只有一个实根，利用反证法证明该方程不可能有两个实根，所以原命题得证；(3)问题转化为方程:只有唯一解，令，则可化为关于的方程：只有唯一正根，注意讨论二次项系数为0和不为0两种情形，当二次项系数不为0时，利用二次函数根的判定方法，最终可以得到所求实数的取值范围.
试题解析：解：(1)由 经检验的满足题意；  2分
(2)证明:即证方程组最多只有一组解，
即证方程最多只有一个实根.            4分
下面用反证法证明:
假设上述方程有两个不同的解则有：
.
但时，不成立.
故假设不成立.从而结论成立.                 7分
(3)问题转化为方程:只有唯一解.         9分
令，则可化为关于的方程：只有唯一正根.   10分
若,则上述方程变为,无解.故          11分
若二次方程(*)两根异号,即.此时方程(*)有唯一正根,满足条件；   12分
若二次方程(*)两根相等且为正,则.       13分
故的取值范围是:.           14分