题目内容

对于函数若存在,使得成立,则称的不动点.
已知
(1)当时,求函数的不动点;
(2)若对任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若图象上两点的横坐标是函数的不动点,且两点关于直线对称,求的最小值.
(1)-1和3;(2);(3)

试题分析:(1)根据不动点的定义,本题实质是求方程的解;(2)函数恒有两个相异的不动点即方程恒有两个不等实根,对应的判别式恒成立;(3)两点关于直线对称,可用的结论有:①直线AB与直线垂直,即斜率互为负倒数;②线段AB的中点在直线上.注意不动点A、B所在直线AB的斜率为1.
试题解析: (1)时,,
 
函数的不动点为-1和3;
(2)即有两个不等实根,转化为有两个不等实根,需有判别式大于0恒成立
,
的取值范围为;
(3)设,则,
的中点的坐标为,即
两点关于直线对称,
又因为在直线上, ,
的中点在直线上,

利用基本不等式可得当且仅当时,b的最小值为.
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