题目内容

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），若函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}，b_n=f^-1（n），则称数列{b_n}是数列{a_n}的“反数列”．
（1）若函数 $数学公式$ 确定数列{a_n}的反数列为{b_n}，求b_n；
（2）设c_n=3ⁿ，数列{c_n}与其反数列{d_n}的公共项组成的数列为{t_n}
（公共项t_k=c_p=d_q，k、p、q为正整数）．求数列{t_n}前10项和S₁₀；
（3）对（1）中{b_n}，不等式 $数学公式$ 对任意的正整数n恒成立，求实数a的范围．

解：（1） $\text{[math]}$ （x≥0）? $\text{[math]}$ （n为正整数），
$\text{[math]}$ （x≥0）
所以数列{a_n}的反数列{b_n}的通项 $\text{[math]}$ （n为正整数）．
（2）c_n=3ⁿ，d_n=log₃n，
3^p=log₃q，
则 $\text{[math]}$ ，
有{c_n}?{d_n}，t_n=3ⁿ，
所以{t_n}的前n项和 $\text{[math]}$ ．
（3）对于（1）中{b_n}，
不等式化为： $\text{[math]}$ ，
对任意正整数n恒成立，
设T_n= $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
数列{T_n}单调递增，
所以（T_n）_min=T₁=1，
要使不等式恒成立，
只要 $\text{[math]}$ ．
∵1-2a＞0，∴ $\text{[math]}$ ，
1-2a＞a²， $\text{[math]}$ ．
所以，使不等式对于任意正整数恒成立的a的取值范围是： $\text{[math]}$
分析：（1）由 $\text{[math]}$ （x≥0），知 $\text{[math]}$ （n为正整数）， $\text{[math]}$ （x≥0），由此能求出数列{a_n}的反数列{b_n}的通项．
（2）由c_n=3ⁿ，d_n=log₃n，知3^p=log₃q，所以t_n=3ⁿ，由此能求出{t_n}的前n项和．
（3）由 $\text{[math]}$ 对任意正整数n恒成立，设T_n= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列{T_n}单调递增，所以（T_n）_min=T₁=1，要使不等式恒成立，只要 $\text{[math]}$ ．由此能求出使不等式对于任意正整数恒成立的a的取值范围．
点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．