题目内容

由函数y=f(x)确定数列{an},an=f(n),函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)能确定数列bn,bn=f-1(n)若对于任意n∈N*都有bn=an,则称数列{bn}是数列{an}的“自反函数列”
(1)设函数f(x)=
px+1
x+1
,若由函数f(x)确定的数列{an}的自反数列为{bn},求an
(2)已知正整数列{cn}的前项和sn=
1
2
(cn+
n
cn
).写出Sn表达式,并证明你的结论;
(3)在(1)和(2)的条件下,d1=2,当n≥2时,设dn=
-1
anSn2
,Dn是数列{dn}的前n项和,且Dn>loga(1-2a)恒成立,求a的取值范围.
分析:解:(1)由f(x)=
px+1
x+1
结合bn=f-1(n)若对于任意n∈N*都有bn=an求解,
(2)由正整数cn的前n项和sn=
1
2
(cn+
n
cn
)
则由通项与前n项和之间的关系求解,要注意分类讨论;
(3)在(1)和(2)的条件下,d1=2,∴D1=2,则n≥2时,dn=
-1
an
s
n
2
=
2
n(n-1)
,由Dn是数列dn的前n项和有Dn=1+d2+…+dn用裂项相消法求解Dn=2(2-
1
n
)
,再由Dn>loga(1-2a)恒成立,即loga(1-2a)小于Dn的最小值,只要求得Dn的最小值即可.
解答:解:(1)由题意得
f(x)=
1-x
X-P

f(x)= 
PX+1
X+1
 且f-1(n)=f (n)

∴P=-1∴an=
n-1
n+1


(2)∵正整数cn的前n项和sn=
1
2
(cn+
n
cn
)

c1=
1
2
(c1+
n
c1
)

解之得∴c1=1,s1=1
当n≥2时,cn=sn-sn-1
2sn=sn-sn-1+
n
sn-sn-1

sn+sn-1=
n
sn-sn-1

sn2-sn-12=n
∴sn-12-sn-22=n-1
sn-22-sn-22=n-2
s22-s12=2
以上各式累加,得∴sn2 =1+2+3+4+…+n=
n(n+1)
2
sn=
n(n+1)
2


(3)在(1)和(2)的条件下,d1=2∴D1=2
当n≥2时,设dn=
-1
an
s
n
2
=
2
n(n-1)
,由Dn是数列dn的前n项和
有Dn=1+d2+…+dn
=2[1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)…(
1
n-1
-
1
n
)]

=2(2-
1
n
)

综上Dn=2(2-
1
n
)

因为Dn>loga(1-2a)恒成立,所以loga(1-2a)小于Dn的最小值,
显然Dn的最小值在n=1时取得,即[Dn]min=2
∴loga(1-2a)<2
∴a满足的条件是
a>0且a≠1
1-2a>0
,∴loga(1-2a)<2
解得0<a<
2
-1
点评:本题一道新定义题,考查了反函数的求法,数列通项与前n项和间的关系以及累加法求通项和裂项相消法求前n项和等知识和方法,综合性较强.
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