Question

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}，b_n=f^-1（n），若对于任意n?N^*，都有b_n=a_n，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“自反数列”．
（1）若函数f（x）=

px+1

x+1

确定数列{a_n}的自反数列为{b_n}，求a_n；
（2）在（1）条件下，记

n

1 x1 + 1 x2 +… 1 xn

为正数数列{x_n}的调和平均数，若d_n=

2

an+1

-1，S_n为数列{d_n}的前n项之和，H_n为数列{S_n}的调和平均数，求

lim

n→∞

=

Hn

n

；
（3）已知正数数列{c_n}的前n项之和Tn=

1

2

(Cn+

n

Cn

)．求T_n表达式．

Answer 1

分析：（1）先求出函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x），根据b_n=f^-1（n）可求出p，即可求出a_n；
（2）先求出d_n，然后求出s_n，根据H_n为数列{S_n}的调和平均数，可求出H_n的关系式，从而求出

lim

n→∞

=

Hn

n

；
（3）先根据正数数列{c_n}的前n项之和Tn=

1

2

(cn+

n

cn

)求出c₁，当n≥2时，c_n=T_n-T_n-1，所以T_n²-T_n-1²=n，然后利用叠加法求出T_n表达式即可．

解答：解：（1）由题意的：f^-1（x）=

1-x

x-p

=f（x）=

px+1

x+1

，所以p=-1，（2分）
所以a_n=

-n+1

n+1

（3分）
（2）a_n=

-n+1

n+1

，dn=

2

an+1

-1=n，（4分）
s_n为数列{d_n}的前n项和，sn=

n(n+1)

2

，（5分）
又H_n为数列{S_n}的调和平均数，
所以Hn=

n

1 s1 + 1 s2 +… 1 sn

=

n

2 1×2 + 2 3×2 +… 2 n(n-1)

=

(n+1)

2

（8分）

lim

n→o

 

Hn

n

=

lim

n→o

n+1

2n

=

1

2

（10分）
（3）因为正数数列{c_n}的前n项之和Tn=

1

2

(cn+

n

cn

)
所以c1=

1

2

(c1+

n

c1

)解之得：c₁=1，T₁=1（11分）
当n≥2时，c_n=T_n-T_n-1，所以2Tn=Tn-Tn1+

n

Tn-Tn1

Tn-Tn-1=

n

Tn-Tn-1

即T_n²-T_n-1²=n（14分）
所以，T₂^n-1-T₂^n-2=n-1，T₂^n-2-T₂^n-3=n-2，…T₂²-T₁²=2累加得：
T_n²-T₁²=2+3+4+…+n₂（16分）

T

2 n

=1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

，Tn=

(n+1)n 2

（18分）

点评：本题主要考查了反函数以及数列与函数的综合问题，同时考查了数列的求和以及累加法，属于难题．